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文章标签 ‘最长递增子序列’

最长公共子序列|最长公共子串|最长重复子串|最长不重复子串|最长回文子串|最长递增子序列|最大子数组和

2012年6月27日 1 条评论

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最近练手,整理了一个“最”系列的主题,这些题目有点绕,个别的还有别名(详见博文),混在一块比较乱,就索性放在一起做了个整理,区别的时候要注意子序列与子串的不同,前者不要求连续,后者要求连续;由于大部分跟DP有关,有的还可以渐进寻求多种解法,可以用来做不错的练手。

下面是这些问题的博文目录

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=1=最长公共子序列(LCS)==

=2=最长公共子串==

=3=最长重复子串==

=4=最长不重复子串==

=5=最长回文子串==

=6=最长递增子序列(LIS)==

=7=最大子数组和(连续子数组最大和)==

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总结:

  1. 问题分类
    • 前两个是关于两个字符串的问题、中间三个是关于单个字符串的问题,最后两个是数组相关的问题;不过不一定绝对,例如最长公共子序列也可以是数组问题;
    • 从解决方案看,12属于“二维”DP问题,因为是两个对象间的问题;467属于“一维”DP问题,是单个对象的问题;345又是后缀数组的典型应用。
  2. 为练手,对大多数问题,尽量逐步探索,整理了多种思路,例如在最长不重复子串问题中,我逐步优化,尝试了四种实现方法,并成功得到了时间为O(N),辅助空间为常数的方案,回头反思,发现其优化的思维得益于对最大子数组和以及LIS的整理与思考。
  3. 这些问题之间相互有很多相通的地方,例如,在最长不重复子串问题中,其DP思路与最长递增子序列有点类似,二者同属“一维”的问题,并且都需要记录当前元素“之前”的某些信息;而在DP优化过程中,最长不重复子串问题又与最大子数组和的优化同出一辙,这两个“一维”的DP问题都只使用O(1)的空间便可以记录子问题的最优解,这种“便捷”的方案并不是空穴来风,而是先通过“规规矩矩”的DP一步步探索,才发现这种“trick”的存在,很是有意思。

勘误:

  • 本系列文章所有代码出现 char xx  [256] 的地方改为 int xx [256] ,因为从逻辑上讲char xx[256] 是有可能出问题的。(感谢HFC

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最长递增子序列(LIS)

2012年6月17日 16 条评论

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最长递增子序列又叫做最长上升子序列;子序列,正如LCS一样,元素不一定要求连续。本节讨论实现三种常见方法,主要是练手。

题:求一个一维数组arr[i]中的最长递增子序列的长度,如在序列1,-1,2,-3,4,-5,6,-7中,最长递增子序列长度为4,可以是1,2,4,6,也可以是-1,2,4,6。

方法一:DP

像LCS一样,从后向前分析,很容易想到,第i个元素之前的最长递增子序列的长度要么是1(单独成一个序列),要么就是第i-1个元素之前的最长递增子序列加1,可以有状态方程:

LIS[i] = max{1,LIS[k]+1},其中,对于任意的k<=i-1,arr[i] > arr[k],这样arr[i]才能在arr[k]的基础上构成一个新的递增子序列。

代码如下:在计算好LIS长度之后,output函数递归输出其中的一个最长递增子序列。

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