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文章标签 ‘LCS’

最长公共子串(Longest-Common-Substring,LCS)

2012年6月25日 7 条评论

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这个LCS跟前面说的最长公共子序列的LCS不一样,不过也算是LCS的一个变体,在LCS中,子序列是不必要求连续的,而子串则是“连续”的。即:

题:给定两个字符串X,Y,求二者最长的公共子串,例如X=[aaaba],Y=[abaa]。二者的最长公共子串为[aba],长度为3。

本节给出三种不同的实现方式,并对比分析每种方法的复杂度,内容如下:

==基本算法==

==DP方案==

==后缀数组==

==各方法复杂度分析==

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基本算法

其实对于最长公共子串,还是比较简单易想的,因为子串是连续的,这就方便了很多。最直接的方法就是用X每个子串与Y的每个子串做对比,求出最长的公共子串。代码如下:

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最长公共子序列(Longest-Common-Subsequence,LCS)

2012年6月12日 6 条评论

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一个字符串S,去掉零个或者多个元素所剩下的子串称为S的子序列。最长公共子序列就是寻找两个给定序列的子序列,该子序列在两个序列中以相同的顺序出现,但是不必要是连续的。

例如序列X=ABCBDAB,Y=BDCABA。序列BCA是X和Y的一个公共子序列,但是不是X和Y的最长公共子序列,子序列BCBA是X和Y的一个LCS,序列BDAB也是。

寻找LCS的一种方法是枚举X所有的子序列,然后注意检查是否是Y的子序列,并随时记录发现的最长子序列。假设X有m个元素,则X有2^m个子序列,指数级的时间,对长序列不实际。

使用动态规划求解这个问题,先寻找最优子结构。设X=<x1,x2,…,xm>和Y=<y1,y2,…,yn>为两个序列,LCS(X,Y)表示X和Y的一个最长公共子序列,可以看出

  1. 如果xm=yn,则LCS ( X,Y ) = xm + LCS ( Xm-1,Yn-1 )。
  2. 如果xm!=yn,则LCS( X,Y )= max{ LCS ( Xm-1, Y ), LCS ( X, Yn-1 ) }

LCS问题也具有重叠子问题性质:为找出X和Y的一个LCS,可能需要找X和Yn-1的一个LCS以及Xm-1和Y的一个LCS。但这两个子问题都包含着找Xm-1和Yn-1的一个LCS,等等.

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